Giáo Dục

Lý thuyết và bài tập Tìm giới hạn dãy số bằng định nghĩa

Tài liệu lý thuyết và bài tập Tìm giới hạn dãy số bằng định nghĩa dưới đây sẽ giúp các em học sinh lớp 11 hiểu bài và hoàn thành tốt các bài tập trong sách giáo khoa và các bài thầy, cô giao.

Các em học sinh lớp 11 sẽ được học về giới hạn trong chương trình học của mình, và một trong những cách tìm giới hạn của một dãy số là bằng định nghĩa, tài liệu này, Happy Home VN sưu tầm và mang tới cho các em một số bài tập ví dụ điển hình, hi vọng, các em sẽ hiểu và học tốt hơn.

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

+ Muốn chứng minh $lim {u_n} = 0$ ta chứng minh với mọi số $a >0$ nhỏ tùy ý, luôn tồn tại một số ${n_a}$ sao cho $left| {{u_n}} right| < a$, $forall n > {n_a}.$
+ Muốn chứng minh $lim {u_n} = l$ ta chứng minh $lim left( {{u_n} – l} right) = 0.$
+ Muốn chứng minh $lim {u_n} = + infty $ ta chứng minh với mọi số $M > 0$ lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên ${n_M}$ sao cho ${u_n} > M$, $forall n > {n_M}.$
+ Muốn chứng minh $lim {u_n} = – infty $ ta chứng minh $lim left( { – {u_n}} right) = + infty .$
+ Dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.

B. VÍ DỤ
Ví dụ 1. Chứng minh rằng:
1. $lim frac{{n + 2}}{{n + 1}} = 1.$
2. $lim frac{{{n^2} – 1}}{{2{n^2} + 1}} = frac{1}{2}.$
3. $lim frac{{1 – 2n}}{{sqrt {{n^2} + 1} }} = – 2.$

Lời giải:
1. Với $a > 0$ nhỏ tùy ý, ta chọn ${n_a} > frac{1}{a} – 1$, ta có: $left| {frac{{n + 2}}{{n + 1}} – 1} right| = frac{1}{{n + 1}}$ $ < frac{1}{{{n_a} + 1}} < a$ với $forall n > {n_a}.$
Suy ra $lim left| {frac{{n + 2}}{{n + 1}} – 1} right| = 0$ $ Rightarrow lim frac{{n + 2}}{{n + 1}} = 1.$
2. Với $a > 0$ nhỏ tùy ý, ta chọn ${n_a} > sqrt {frac{3}{a} – 1} $, ta có:
$left| {frac{{{n^2} – 1}}{{2{n^2} + 1}} – frac{1}{2}} right| = frac{3}{{{n^2} + 1}}$ $ < frac{3}{{n_a^2 + 1}} < a$ với $forall n > {n_a}.$
Suy ra $lim left| {frac{{{n^2} – 1}}{{2{n^2} + 1}} – frac{1}{2}} right| = 0$ $ Rightarrow lim frac{{{n^2} – 1}}{{2{n^2} + 1}} = frac{1}{2}.$
3. Với $a > 0$ nhỏ tùy ý, ta chọn ${n_a} > sqrt {frac{9}{{{a^2}}} – 1} $, ta có:
$left| {frac{{1 – 2n}}{{sqrt {{n^2} + 1} }} + 2} right|$ $ = left| {frac{{1 – 2n + 2sqrt {{n^2} + 1} }}{{sqrt {{n^2} + 1} }}} right|$ $ < left| {frac{{1 – 2n + 2(n + 1)}}{{sqrt {{n^2} + 1} }}} right|$ $ = frac{3}{{sqrt {{n^2} + 1} }}$ $ < frac{3}{{sqrt {n_a^2 + 1} }} < a$ với $forall n > {n_a}.$
Suy ra $lim left| {frac{{1 – 2n}}{{sqrt {{n^2} + 1} }} + 2} right| = 0$ $ Rightarrow lim frac{{1 – 2n}}{{sqrt {{n^2} + 1} }} = – 2.$

Ví dụ 2. Chứng minh rằng dãy số $left( {{u_n}} right)$: ${u_n} = {( – 1)^n}$ không có giới hạn.

Lời giải:
Ta có: ${u_{2n}} = 1$ $ Rightarrow lim {u_{2n}} = 1$; ${u_{2n + 1}} = – 1$ $ Rightarrow lim {u_{2n + 1}} = – 1.$
Vì giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất nên ta suy ra dãy $left( {{u_n}} right)$ không có giới hạn.

Ví dụ 3. Chứng minh các giới hạn sau:
1. $lim frac{{{n^2} + 1}}{n} = + infty .$
2. $lim frac{{2 – n}}{{sqrt n }} = – infty .$

Lời giải:
1. Với mọi số thực dương $M$ lớn tùy ý, ta có:
$left| {frac{{{n^2} + 1}}{n}} right| > M$ $ Leftrightarrow {n^2} – Mn + 1 > 0$ $ Leftrightarrow n > frac{{M + sqrt {{M^2} – 4} }}{2}.$
Ta chọn ${n_0} = left[ {frac{{M + sqrt {{M^2} – 4} }}{2}} right]$ thì ta có: $frac{{{n^2} + 1}}{n} > M$, $forall n > {n_0}.$
Do đó: $lim frac{{{n^2} + 1}}{n} = + infty .$
2. Với mọi $M > 0$ lớn tùy ý, ta có:
$frac{{n – 2}}{{sqrt n }} > M$ $ Leftrightarrow n – Msqrt n – 2 > 0$ $ Leftrightarrow n > {left( {frac{{M + sqrt {{M^2} + 8} }}{2}} right)^2}.$
Ta chọn ${n_0} = left[ {{{left( {frac{{M + sqrt {{M^2} + 8} }}{2}} right)}^2}} right]$ thì ta có: $frac{{n – 2}}{{sqrt n }} > M$, $forall n > {n_0}.$
Do đó: $lim frac{{2 – n}}{{sqrt n }} = – infty .$

C. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1. Chứng minh rằng:
1. $lim frac{1}{{{n^k}}} = 0$ $left( {k in {N^*}} right).$
2. $lim frac{{1 – {n^2}}}{n} = – infty .$

Lời giải:
1. Với $a > 0$ nhỏ tùy ý, ta chọn: ${n_a} > sqrt[k]{{frac{1}{a}}}$, ta có: $frac{1}{{{n^k}}} < frac{1}{{n_a^k}} < a$, $forall n > {n_a}$ nên có $lim frac{1}{{{n^k}}} = 0.$
2. Với mọi số dương $M$ lớn tùy ý ta chọn ${n_M}$ thỏa mãn $frac{{n_M^2 – 1}}{{{n_M}}} > M$ $ Leftrightarrow {n_M} > frac{{M + sqrt {{M^2} + 4} }}{2}.$
Ta có: $frac{{{n^2} – 1}}{n} > M$, $forall n > {n_M}$ $ Rightarrow lim frac{{{n^2} – 1}}{n} = + infty .$
Vậy $lim frac{{1 – {n^2}}}{n} = – infty .$

Bài 2. Chứng minh các giới hạn sau:
1. $lim frac{{cos n + sin n}}{{{n^2} + 1}} = 0.$
2. $lim frac{{sqrt {n + 1} }}{{n + 2}} = 0.$
3. $lim frac{{3{n^3} + n}}{{{n^2}}} = + infty .$

Lời giải:
1. Ta có $frac{{|cos n + sin n|}}{{{n^2}}} < frac{2}{{{n^2}}}$ mà $lim frac{1}{{{n^2}}} = 0$ $ Rightarrow lim frac{{cos n + sin n}}{{{n^2} + 1}} = 0.$
2. Với mọi số thực $a>0$ nhỏ tùy ý, ta chọn ${n_a} = left[ {frac{1}{{{a^2}}} – 1} right] + 1.$
Ta có: $frac{{sqrt {n + 1} }}{{n + 2}} < frac{1}{{sqrt {n + 1} }} < a$, $forall n > {n_a}$ $ Rightarrow lim frac{{sqrt {n + 1} }}{{n + 2}} = 0.$
3. Với mọi $M > 0$ lớn tùy ý, ta chọn ${n_M} = left[ {frac{M}{3}} right] + 1.$
Ta có: $frac{{3{n^3} + n}}{{{n^2}}} = 3n + frac{1}{n} > M$, $forall n > {n_M}.$ Vậy $lim frac{{3{n^3} + n}}{{{n^2}}} = + infty .$

Bài 3. Dùng định nghĩa tìm các giới hạn sau:
1. $A = lim frac{{2n + 1}}{{n – 2}}.$
2. $B = lim frac{{2n + 3}}{{{n^2} + 1}}.$

Lời giải:
1. Với số thực $a>0$ nhỏ tùy ý, ta chọn ${n_a} > frac{5}{a} + 2 > 2.$
Ta có: $left| {frac{{2n + 1}}{{n – 2}} – 2} right| = frac{5}{{|n – 2|}}$ $ < frac{5}{{{n_a} – 2}} < a$, $forall n > {n_a}.$
Vậy $A=2.$
2. Với số thực $a > 0$ nhỏ tùy ý, ta chọn ${n_a}$ thỏa mãn: $frac{{2{n_a} + 3}}{{n_a^2 + 1}} < a$ $ Leftrightarrow {n_a} > frac{{1 + sqrt {{a^2} – 4a + 13} }}{a}.$
Ta có: $frac{{2n + 3}}{{{n^2} + 1}} < a$, $forall n > {n_a}$ $ Rightarrow B = 0.$

Bài 4. Chứng minh các giới hạn sau:
1. $lim frac{{{a^n}}}{{n!}} = 0.$
2. $lim sqrt[n]{a} = 1$ với $a >0.$

Lời giải:
1. Gọi $m$ là số tự nhiên thỏa mãn: $m + 1 > |a|.$ Khi đó với mọi $n > m + 1.$
Ta có: $0 < left| {frac{{{a^n}}}{{n!}}} right|$ $ = left| {frac{a}{1}.frac{a}{2} ldots frac{a}{m}} right|.left| {frac{a}{{m + 1}} ldots frac{a}{n}} right|$ $ < frac{{|a{|^m}}}{{m!}}.{left( {frac{{|a|}}{{m + 1}}} right)^{n – m}}.$
Mà $lim {left( {frac{{|a|}}{{m + 1}}} right)^{n – m}} = 0.$
Từ đó suy ra: $lim frac{{{a^n}}}{{n!}} = 0.$
2. Nếu $a =1$ thì ta có điều phải chứng minh.
Giả sử $a >1.$ Khi đó: $a = {[1 + (sqrt[n]{a} – 1)]^n} > n(sqrt[n]{a} – 1).$
Suy ra: $0 < sqrt[n]{a} – 1 < frac{a}{n} to 0$ nên $lim sqrt[n]{a} = 1.$
Với $0 < a < 1$ thì $frac{1}{a} > 1$ $ Rightarrow lim sqrt[n]{{frac{1}{a}}} = 1$ $ Rightarrow lim sqrt[n]{a} = 1.$
Tóm lại ta luôn có: $lim sqrt[n]{a} = 1$ với $a > 0.$

Bài 5. Dãy số $left( {{x_n}} right)$ thỏa mãn điều kiện $1 < {x_1} < 2$ và ${x_{n + 1}} = 1 + {x_n} – frac{1}{2}x_n^2$, $forall n in {N^*}.$ Chứng minh rằng dãy số đã cho hội tụ. Tìm $lim {x_n}.$

Lời giải:
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp bất đẳng thức sau: $left| {{x_n} – sqrt 2 } right| < frac{1}{{{2^n}}}$, $forall n ge 3.$
Thật vậy ta kiểm tra được ngay bất đẳng thức đúng với $n= 3.$
Giả sử bất đẳng thức đúng với $n ge 3$, tức là $left| {{x_n} – sqrt 2 } right| < frac{1}{{{2^n}}}.$
Khi đó ta có: $left| {{x_{n + 1}} – sqrt 2 } right|$ $ = frac{1}{2}left| {{x_n} – sqrt 2 } right|left| {2 – sqrt 2 – {x_n}} right|$ $ le frac{1}{2}left| {{x_n} – sqrt 2 } right|left( {left| {sqrt 2 – {x_n}} right| + left| {2 – 2sqrt 2 } right|} right).$
$ < frac{1}{2}left| {{x_n} – sqrt 2 } right|$ $ < frac{1}{2}frac{1}{{{2^n}}} = frac{1}{{{2^{n + 1}}}}.$
Do đó bất đẳng thức đúng đến $n+1.$
Mặt khác do $lim frac{1}{{{2^n}}} = 0$ nên từ bất đẳng thức trên và nguyên lý kẹp ta có $lim left( {{x_n} – sqrt 2 } right) = 0$ $ Rightarrow lim {x_n} = sqrt 2 .$
Chú ý: Ta có kết quả sau:
Cho hàm số $f:R to R$ thỏa: $|f(x) – f(y)| le q.|x – y|$ với mọi $x,y in R$ và $q in (0;1).$ Khi đó dãy số $left( {{u_n}} right)$ được xác định bởi ${u_0} = c$; ${u_n} = fleft( {{u_{n – 1}}} right)$, $forall n = 2,3, ldots $ có giới hạn hữu hạn là nghiệm của phương trình $f(x) = x.$
Sử dụng kết quả trên ta có nghiệm của phương trình $f(x) = x$ có nghiệm là $sqrt 2 $ nên ta mới đi chứng minh $lim {x_n} = sqrt 2 .$

Các em xem thêm: Cách xác định cấp số và các yếu tố của cấp số

Chúc các em học tốt.

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button
You cannot copy content of this page